Geometría Analitica

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Buenos días queridos alumnos del CBT4 Texcoco; los saluda el profesor Ángel Martín Cedillo Pedroza espero se encuentren muy bien cada uno de ustedes así como su familia.
El siguiente Blogger a sido creado por parte de todos los maestros que forman parte de la academia de Matematicas con la intencion de poderlos apoyar con materiales alucibos a cada una de las materias que cursaran en esta estapa de Preparatoria del área de las Matemáticas.

Por parte de la materia de GEOMETRÍA ANALÍTICA comenzaremos dando una breve introducción.

René Descartes (1596-1650) es, al igual que Leibnitz, tan conocido por sus trabajos en Filosofía como en Matemáticas. En 1637 publica el Discurso del método para dirigir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias, como introducción a tres tratados científicos, uno de los cuales, la Geometría, es la única obra que dedica a las matemáticas. En ella introduce como unidad un segmento arbitrario a imagen de lo que en Aritmética supone el número uno, asignando a cada punto del plano dos números que expresan su distancia a dos líneas rectas no necesariamente perpendiculares entre sí. En realidad, en su Geometría*, no aparecen explícitamente los términos coordenadas o ejes, pero sí las ideas que les dan origen (Descartes emplea únicamente una recta horizontal como eje X y, además, no utiliza las abscisas negativas). Por otra parte, indica los datos a través de letras, siguiendo métodos algebraicos, y expresa las relaciones entre las letras, es decir ecuaciones. Un siglo después Voltaire se referirá a Descartes como el inventor del método que permite asignar ecuaciones algebraicas a las curvas.

Pierre de Fermat (1601-1665) Matemático del siglo XVII al que se apodó príncipe de los aficionados, puesto que en realidad no era matemático sino que estudió Derecho en la ciudad de Toulouse, donde ejerció de juez durante el reinado de Luis XIV. Fue uno de los fundadores de la Geometría Analítica (la combinación de la Geometría con el Cálculo y el Álgebra); que describió en su obra Ad locus planos et solidos isagoge. La correspondencia con Blaise Pascal permitió que ambos cofundaran y asentaran las bases de la Teoría de la Probabilidad. Fermat produjo importantes resultados en Teoría de Números, uno de los más conocidos es el Último Teorema de Fermat. Anotó su resultado en el margen de un libro (Aritmética, de Diofanto) junto con la observación He encontrado una demostración muy ingeniosa, pero el margen de este libro es demasiado pequeño para escribirla. El teorema no llegó a ser demostrado hasta 300 años más tarde por el matemático británico Sir Andrew Wiles.

QUE ES LA GEOMETRÍA ANALÍTICA?

La geometría analítica es una rama de las matemáticas dedicada al estudio en profundidad de las figuras geométricas y sus respectivos datos, tales como áreas, distancias, volúmenes, puntos de intersección, ángulos de inclinación, etcétera. Para ello emplea técnicas básicas de análisis matemático y de álgebra

A continuación veremos 3 definiciones básicas de lo que es la Geometría Analítica:

La geometría analítica se define como un método que unifica el Álgebra y la Geometría
La palabra geometría es de origen griego y proviene de las raíces geo( tierra) y metron ( medir) . Es una rama de las Matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de figuras en el plano o el espacio, e incluye puntos, rectas, curvas, etc. …
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

La geometría analítica es una de las herramientas conceptuales más útiles de la humanidad, y hoy en día sus aplicaciones podemos verlas en, por citar unos ejemplos:

Los puentes colgantes. Desde los antiguos puentes colgantes de madera, hasta sus versiones modernas con cables de acero, el principio geométrico de la parábola se aplica en cada uno de ellos.
Las antenas parabólicas. Las antenas parabólicas para captar información satelital tienen la forma de un paraboloide, generado por su reflector que gira sobre el eje, persiguiendo la señal. Gracias a la propiedad de reflexión de la parábola, el disco de la antena puede reflejar la señal satelital hacia el dispositivo de alimentación.
La observación astronómica. Los cuerpos celestes orbitan en una trayectoria que describe una elipse, como lo dedujo Johannes Kepler (1571-1630), y no una circunferencia, como creía Copérnico (1473-1543). Dichos cálculos fueron posibles sólo empleando la Geometría analítica.

SISTEMAS DE REFERENCIA

Cuando hablamos de un sistema de referencia, normalmente nos referimos a un conjunto de convenciones que un observador necesita, dentro de un sistema físico mecánico, para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un objeto en estudio.

Esto quiere decir que un sistema de referencia es el contexto necesario para comprender las dimensiones y orientaciones de un objeto.

En matemáticas se trabajan con 3 sistemas de referencia muy famosos que son los siguientes:

En Matemáticas tenemos Geometría Analítica Unidimensional y Geometría Analítica Bidimencional.

Existen diferentes sistemas de coordenadas a continuación mencionamos algunas :

Sistemas de Coordenadas Astronómicas
Sistemas de Coordenadas Geográficas
Sistemas de Coordenadas Rectangulares
Sistemas de Coordenadas Reticulares
Sistemas de Coordenadas Polares

En la materia de Geometría Analítica se trabajara principalmente con coordenadas cartesianas y polares.

El plano de coordenadas polares es utilizado en diferentes áreas , algunos ejemplos son los siguientes:

EL PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano son 2 rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta vertical recibe el nombre de eje Y o eje de las ordenadas.

El plano cartesiano presenta 4 regiones llamadas CUADRANTES y cada punto P se le asigna un par coordenado P( X,Y)